黎曼，华罗庚（黎曼假设）

黎曼学说是什么

复变函数论的创始人19世纪数学最独特的创造是复变函数论的创立，它是18世纪复数和复变函数论研究的延续。在1850年以前，柯西、雅各比、高斯、阿贝尔和维尔斯特拉斯都曾系统地研究过单值解析函数的理论，但只有柯西和皮塞尔对多值函数有一些孤立的结论。1851年，黎曼在高斯的指导下完成了题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又发表了4篇关于《数学杂志》的重要文章，进一步阐述了博士论文中的思想。一方面，他总结了前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具对其进行了处理，同时，他创立了多值解析函数的理论基础，由此，为几个不同的方向。柯西和黎曼和维尔斯特拉斯被公认为复变函数论的主要创始人，后来证明黎曼方法在处理复变函数论中是必不可少的。柯西和黎曼的思想是融合在一起的，从柯西-黎曼的观点可以推导出维尔斯特拉斯的思想。在黎曼对多值函数的处理中，最重要的是他引入了后来被称为“黎曼面”的概念。多值函数用黎曼曲面几何直观，在黎曼曲面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼平面上引入了支点、截线和连通性的定义，并开展了函数性质的研究，得到了一系列结果。用黎曼处理过的复变函数，单值函数就是多值函数的候补例子。他将单值函数的一些已知结论推广到多值函数，特别是他提出的按连通性对函数进行分类的方法，极大地促进了拓扑学的最初发展。他研究了阿贝尔函数、阿贝尔积分和阿贝尔积分反演，得到了著名的黎曼-罗氏定理。第一个对偶有理变换构成了19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。为了完善自己的博士论文，黎曼在文末给出了他的函数论在保角映射中的几个应用，将高斯1825年关于平面到平面保角映射的结论推广到任意黎曼曲面，并在文末给出了著名的黎曼映射定理。黎曼，黎曼几何的创始人，在几何方面对数学做出了最重要的贡献。黎曼开创的对高维抽象几何的研究，以及处理几何问题的方法和手段，是几何史上一场深刻的革命。他建立了以自己名字命名的全新几何体系，对现代几何以及数学和科学所有分支的发展产生了巨大影响。1854年，为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，黎曼给全体教职员工做了一次演讲。这篇演讲在他死后两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》的标题发表。他在演讲中简要概述了所有已知的几何，包括新诞生的非欧洲几何之一的双曲几何，并提出了一个新的几何体系，后来被称为黎曼几何。为了争夺巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎杰作”。本文对他1854年的文章进行了技术处理，进一步阐明了他的几何思想。这篇文章在他死后的1876年被收入他的书《文集》。黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的方法，这与高斯、波尔约、罗巴切夫斯基的欧几里得几何或者非欧几里得几何中把空间看作一个整体是相对的。黎曼摆脱了高斯等前人将几何对象的曲线曲面局限于三维欧氏空间的束缚，从维度上建立了更一般的抽象几何空间。黎曼引入了流形和微分流形的概念，并将维空间称为流形。维流形中的一个点可以用一组可变参数的特定值来表示，所有这些点构成了流形本身。这个可变参数叫做流形的坐标，它是可微的。当坐标连续变化时，对应点遍历流形。黎曼模拟了传统的微分几何来定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线以及曲线之间的夹角

基于这些概念，对维流形的几何性质进行了研究。在维流形上，他还定义了类似于高斯在研究一般曲面时所描述的曲率。他证明了当他在维流形上的维数等于3时，欧氏空间的情况与高斯等人得到的结果是一致的，所以黎曼几何是传统微分几何的推广。黎曼发展了高斯关于曲面本身就是空间的几何思想，研究了维流形的内在性质。黎曼的研究导致了另一种非欧几何——椭圆几何的诞生。在黎曼看来，有三种不同的几何。它们之间的区别在于给定点绕给定直线所做的平行线的数量。如果只能作出一条平行线，则称为欧几里得几何；如果什么都做不了，那就是椭圆几何；如果有一组平行线，我们就得到了第三种几何，即罗巴切夫斯基几何。黎曼因此在罗巴切夫斯基之后发展了空间理论，结束了欧几里得平行公理一千多年的讨论。他断言客观空间是一种特殊的流形，并预见到具有某些性质的流形的存在。这些逐渐被后人所证实。由于黎曼考虑的是任意维的几何空间，对于复杂的客观空间有更深的实用价值。因此，在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采用了一些不同的方法使表达式更加简洁，最终导致了张量、外微分、联络等现代几何工具的诞生。正是爱因斯坦成功地利用黎曼几何作为工具，使广义相对论几何化。现在，黎曼几何已经成为现代理论物理的必要数学基础。微积分理论的创造性贡献除了在几何和复变函数方面的开创性工作，黎曼还以其对19世纪初出现的微积分理论的完善所做出的杰出贡献而名垂青史。18世纪末到19世纪初，数学界开始关心数学最大的分支————微积分的概念和证明的不严密性。波尔扎诺、柯西、阿贝尔、狄利克雷以及后来的威尔斯都致力于严格的分析。黎曼在柏林大学师从狄利克雷学习数学，对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，所以对微积分理论有他独特的看法。1854年，黎曼被要求提交反映其学术水平的论文，以获得哥廷根大学编外讲师的资格。他交了《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》篇文章。这是一部内容丰富、思想深刻的巨著，对分析理论的完善产生了深远的影响。柯西

曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。　　黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。　　黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。 解析数论跨世纪的成果　　19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。　　1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。　　在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。　　那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。 组合拓扑的开拓者　　在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。　　黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。　　比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。 代数几何的开源贡献　　19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。　　黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。　　著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。　　黎曼假设　2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。　　具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。　　1730年，欧拉在研究调和级数：　　Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。　　时，发现：　　Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。　　其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确：　　Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx)　　证明了上式，即证明了黎曼猜想。 　　在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) =1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果　　黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。　　黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。　　19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。　　黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。　　在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，……　　黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。　　不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。　　黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。

黎曼的生平事迹有哪些？

翻开科学史册，每位科学家部有着独特的个性、坚定的毅力。黎曼的不同就在于他的独创精神，其创造性的工作，在数学的众多研究领域作出了突出贡献，为世界数学建立了丰功伟绩。黎曼出生在德国汉诺瓦一个小乡村的清教徒家庭，父亲是一名乡村牧师，并且希望儿子能够继承他的遗志，长大也做一名牧师。按照父亲的意愿，19岁的黎曼进入了哥廷根大学攻读哲学和神学。但是黎曼从小酷爱数学，在中学的时候，他已经显示出了很高的数学才能，据他的数学老师萨马福斯德回忆，黎曼在16岁的时候就全部理解了法国数学家勒让德的《数论》。当时的哥廷根夫学是世界数学中心之一，其数学教学和数学研究的气氛非常浓。黎曼在学习哲学和神学之余一有时间就去听高斯的最小二乘法及史登恩的定积分的课程，受环境的影响，他决定放弃神学，专攻数学。1847年，黎曼转入柏林大学，拜贾可比、狱利克雷和史泰勒为师。在那里，他学习了高等代数，数论、积分论和偏微方程及椭圆方程，从此，开始了他研究数学的征程。两年后，黎曼呈上了博士论文《复变函数论的一般理论的基础》，为多值解析函数的创立奠定了理论基础。高斯看到后欣喜地说：“我许多年前就想写一份像这样的论文。”1854年是黎曼生命中重要的一年，他不但成为哥廷根大学讲师，还创造性地采用微分几何的途径，创立了黎曼几何，这种处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命。在伟大的成果中，黎曼得到了极大地鼓舞。在接下来的几年里，他把所有的精力都投入到了数学研究中，他的研究范围几乎遍及了整个数学领域。1858年他在一篇关于素数分布的论文中，提出了著名的黎曼猜想。这个猜想提出后，就像珠穆朗玛峰一样屹立在数学王国里，目前已有很多人登上这座世界屋脊，但至今还没有人能证明这个猜想。黎曼也伴随着这个猜想接受着后人的顶礼膜拜。黎曼的创造性工作在当时未能得到数学界的一致公认，德国数学家克莱因评价他说：“黎曼具有很强的直观，这天份使他超越了当代的数学家。”但他艰深难解的深邃思想和部分工作不够严谨的态度，曾引起了很大的争议。除在数学研究之外，黎曼还把数学引到了物理研究上，将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。此外，他还是对冲击波作数学处理的第一个人。因为长年的贫困和劳累，在1862年婚后不到一个月黎曼就开始患胸膜炎和肺结核，并于1866年病逝。他在数学界仅仅活跃了15年，但他对纯数学的研究作出了划时代的贡献。他去世后，许多数学家对黎曼断言过的定理开始重新论证并取得了辉煌成就。爱因斯坦广义相对论就是建立在黎曼几何的基础之上的。

黎曼是什么意思

黎曼一般指波恩哈德·黎曼波恩哈德·黎曼（1826年9月17日-1866年7月20日）德国数学家、物理学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。

什么是黎曼假设？

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。